Mathe6 Min Lesezeit2026-06-29
Mathe Pythagoras Aufgaben: Der Lehrsatz mit Beispielen
Den Satz des Pythagoras verstehen und anwenden — a² + b² = c² mit Beispielen, Übungsaufgaben und Anwendungen.
Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Lehrsätze der Mathematik. Er verbindet die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und ist Grundlage vieler weiterer geometrischer Sätze.
Der Lehrsatz
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
**Formel**: a² + b² = c²
Dabei sind:
- a und b die Katheten (die kurzen Seiten, die den rechten Winkel bilden)
- c die Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber des rechten Winkels)
**Voraussetzung**: Der Satz gilt NUR in rechtwinkligen Dreiecken!
Die Hypotenuse berechnen
Wenn die beiden Katheten bekannt sind, berechnet man die Hypotenuse:
c = √(a² + b²)
**Beispiel 1**: a = 3cm, b = 4cm. Wie lang ist c?
c = √(9 + 16) = √25 = 5cm
**Beispiel 2**: a = 5cm, b = 12cm.
c = √(25 + 144) = √169 = 13cm
**Das 3-4-5-Dreieck**: Die bekannteste pythagoräische Zahl. 3² + 4² = 5². Praktisch zum Ausmessen von rechten Winkeln auf Baustellen.
Eine Kathete berechnen
Wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind:
a = √(c² - b²) bzw. b = √(c² - a²)
**Beispiel**: c = 10cm, a = 6cm. Wie lang ist b?
b = √(100 - 36) = √64 = 8cm
**Achtung**: c² - b² muss positiv sein! Wenn das Ergebnis negativ wäre, ist das Dreieck nicht möglich.
Anwendungen des Satzes
**Abstand zwischen zwei Punkten**: Die Entfernung zwischen den Punkten A(1|2) und B(4|6) berechnet sich als:
d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
**Diagonale eines Rechtecks**: Ein Rechteck hat die Maße 8cm × 6cm. Die Diagonale ist:
d = √(64 + 36) = √100 = 10cm
**Höhe eines gleichseitigen Dreiecks**: Bei einer Seitenlänge von a:
h = √(a² - (a/2)²) = √(3a²/4) = (a√3)/2
**Kathetensätze und Höhensatz**: Weitere wichtige Sätze, die auf dem Pythagoras basieren:
- a² = p · c (Kathetensatz)
- b² = q · c
- h² = p · q (Höhensatz)
📌 Fazit
Der Satz des Pythagoras ist einer der nützlichsten Sätze der Schulmathematik. Mit a² + b² = c² lassen sich Distanzen, Längen und Höhen berechnen. Wichtig: Er gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken! Bei komplexen Aufgaben hilft die KI auf aufgaben-ki.de.