Mathe9 Min Lesezeit2026-06-29
Lineare Gleichungssysteme erklären: Methoden & Beispiele
LGS lösen mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren. Alle Methoden Schritt für Schritt mit Beispielen erklärt.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) sind eines der wichtigsten Themen in der Mittelstufe. Sie tauchen in Klasse 8-10 auf und sind ein klassisches Klausurthema. Hier lernst du alle drei Lösungsverfahren Schritt für Schritt.
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen. Gesucht werden Werte für die Variablen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Beispiel:
I: 2x + 3y = 12
II: x - y = 1
Die Lösung ist x = 3, y = 2 (Probe: 2·3 + 3·2 = 12 ✓ und 3 - 2 = 1 ✓).
Lösungsverfahren 1: Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.
**Schritt 1**: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen. Aus II: x = y + 1
**Schritt 2**: In die andere Gleichung einsetzen. In I: 2(y + 1) + 3y = 12
**Schritt 3**: Auflösen nach y: 2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2
**Schritt 4**: y in die umgestellte Gleichung einsetzen: x = 2 + 1 = 3
**Schritt 5**: Probe in beiden Gleichungen.
Lösungsverfahren 2: Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt sie gleich.
**Schritt 1**: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen.
I: 2x + 3y = 12 → x = (12 - 3y)/2
II: x - y = 1 → x = y + 1
**Schritt 2**: Gleichsetzen: (12 - 3y)/2 = y + 1
**Schritt 3**: Nach y auflösen: 12 - 3y = 2y + 2 → 10 = 5y → y = 2
**Schritt 4**: y einsetzen für x.
Lösungsverfahren 3: Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren multipliziert man die Gleichungen so, dass eine Variable beim Addieren wegfällt.
**Schritt 1**: Gleichung II mit -2 multiplizieren: -2x + 2y = -2
**Schritt 2**: Zu I addieren: (2x + 3y) + (-2x + 2y) = 12 + (-2) → 5y = 10 → y = 2
**Schritt 3**: y in eine Originalgleichung einsetzen.
Das Additionsverfahren ist oft am schnellsten, erfordert aber etwas Übung im Erkennen, womit man multiplizieren muss.
Wann welches Verfahren?
**Einsetzungsverfahren**: Wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder leicht aufgelöst werden kann.
**Gleichsetzungsverfahren**: Wenn beide Gleichungen dieselbe Variable isoliert haben oder einfach isolieren lassen.
**Additionsverfahren**: Wenn die Koeffizienten einer Variablen sich leicht durch Multiplikation auf gleichen Betrag mit unterschiedlichem Vorzeichen bringen lassen.
Mit etwas Übung erkennst du nach 10 Sekunden, welches Verfahren am schnellsten ist. Die KI auf aufgaben-ki.de zeigt dir bei jeder Aufgabe den optimalen Weg.
📌 Fazit
Lineare Gleichungssysteme sind gar nicht schwer, wenn man die drei Lösungsverfahren beherrscht. Übe jede Methode an 5-10 Aufgaben, dann kannst du in der Klausur die schnellste Variante wählen. Bei Problemen hilft die KI-Hausaufgaben-Hilfe auf aufgaben-ki.de.